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Tutorial Sage

Álgebra Linear

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado
Sistema Linear $ Av=b$ A.solve_right(b) A=matrix([ [1, 2, 6], [ 1, 2, 0 ], [ 1, -2, 3 ] ] )
b=vector( [1, -1, 1] )
A.solve_right(b)
( -1/2, -1/4, 1/3 )
 
Núcleo de A

kernel( A )

A=matrix( [ [1, 2, 3 ], [ 1, 2, 3], [ 1, 2, 3] ] )
kernel( A )

 

( 1, 0, -1 )

( 0,  1,  -1 )

Polinômio caracteristico de  A A.charpoly()

A=matrix( [ [1, 2, 3], [ 1, 2, 3 ], [ 1, 2, 3 ] ] )
A.charpoly()

 

x^3 - 6*x^2
 
Autovalores de A A.eigenvalues()

A=matrix( [ [1, 2, 3 ], [1,  2, 3 ], [ 1,  2,  3] ] )
A=matrix( [ [ 1, 2,  3], [ 1, 2, 3 ], [ 1, 2, 3 ] ] )
A.eigenvalues()

 

[ 6, 0, 0 ]
Autovetores de A A.eigenvectors_right()

A=matrix( [ [ 1, 2, 3 ], [ 1, 2, 3], [ 1, 2, 3] ] )
A.eigenvectors_right()

 

[(6, [ (1, 1, 1) ], 1), (0, [ (1, 0, -1/3), (0, 1, -2/3) ], 2)]
 
Autor: Ricardo Nunes Machado Junior

Mais sobre o tópico: quickref-linalg.pdf

Referência: Documentação Sage

Derivada

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado

$\displaystyle\frac{df}{dx}$

diff( f , x )                          

diff( sqrt(x), x)

       
1/2/sqrt(x)
                             

$\displaystyle\frac{d^nf}{dx^n}$

diff( f, x, n )

diff( sin(x), x,  3)

-cos(x)

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$

diff( f , x )

var( 'y' )
diff( x^2 + y^2, x )

2*x

$\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial y\partial y}$

diff( f, y , y )

var( 'y' )
diff( x^2 + y^2, y , y )

2

$\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$

diff( f , x , y )

var( 'y' )
diff( x^2 + y^2, x , y )

0

$\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$

diff( f ,y , x)

var( 'y,z' )
diff( x^2 + x*y^2+ z^2, y , x )

2*y

Autor: Leon Denis da Silva

Mais sobre o tópico: quickref-calc_1.pdf

Referência: Documentação Sage

EDO

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado

EDO de 1ª  Ordem  

$y'(x) + py(x) =q$

desolve( edo , y) y = function( 'y' )( x ) 
show( desolve( diff( y, x ) + y - 1, y ) ) 
$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(C + e^{x}\right)} e^{\left(-x\right)}$

EDO de 2ª Ordem

$y''(x) + py'(x)+ ky(x)= q(x)$

 

desolve( edo , y ) y = function( 'y' )( x ) 
show( desolve( diff( y, x, 2 ) - y == x  , y ) )
$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}K_{2} e^{\left(-x\right)} + K_{1} e^{x} - x$

Problema de Valor Inicial 

$y'(x) + py(x) =q$

$y( x_0 )=y_0$

 

desolve(edo , y , ics=[ x_0, y_0 ] ) y=function( 'y' )(x)
desolve( diff( y, x ) + y - 1, y, ics=[ 10, 2 ] )
$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(e^{10} + e^{x}\right)} e^{\left(-x\right)}$
Autor: Marcelo Pedro dos Santos

Mais sobre o tópico: solving_ordinary_differential_equations_-_sage_reference_manual_v7.pdf

Referência: Documentação Sage

Funções Matemáticas

Operação Matemática

Sintaxe Sage

Exemplo

Resultado

Valor Absoluto de $x$

abs( x )

abs( -2 )

2

Raiz quadrada $ x$

sqrt( x )

sqrt(225)

15

Raíz de $x$ ordem $n$

x**( 1/n ) ou x^( 1/n )

8**( 1/ 3 )

2

Exponencial na Base $e$

exp( x )

exp( 2 )

e^2

Logaritmo Natural de  $x$

ln( x )

ln( e )

1

Logaritmo de $x$ na Base $b$

log( x , b )

log( 1024,2 )

10

Seno de x sin( x )  sin( pi ) 1
Cosseno de x cos( x ) cos( pi/2 ) 0
Tangente de x  tan( x ) tan( 3*pi/4 ) -1
Secante de x sec( x ) sec( pi/3 ) 2
Cosecante de x csc( x ) csc( pi/3 ) 2/3*sqrt(3)
 
Cotangente cot ( x ) cot( pi/3 ) 1/3*sqrt(3)

Coeficiente Binomial de $n$ sobre $r$

binomial( n, r )

binomial( 5, 2 )

10

Fatorial de $n$

factorial( n )

factorial( 5 )

120

Fatoração de primo de $n$

factor( n )

factor( 12 )

2^2*3

MDC de $a$  e $b$

gcd( a, b)

gcd( 12, 16 )

4

Valor Máximo

max( x,y,z w,... ) 

max( 1, 2.7, 4.8 )

4.8

Valor Mínimo 

min( x,y,z w,... ) 

min( 1, 2.7, 4.8  )

2.7

Menor Inteiro maior ou igual a $x$

ceil( x )

ceil( 1.4 )

2

Maior Inteiro menor ou igual a $x$ 

floor( x )

floor( pi )

3

Inteiro mais próximo ou igual a $x$

round( x )

round( 2.8456 )

3

Parte inteira $x$

int( x )

Int ( 2.8456 )

2

Número aleatório maior ou igual a zero e menor que 1

random()

random()

0.7311469958220904

Número inteiro aleatório em $[a,b]$

randint( a , b )

randint(1, 100 )

46

Autor: Leon Denis da Silva

Mais sobre o tópico:

Referência: Documentação Sage

Gráficos

Gráficos 2D Sintaxe Sage Exemplo Resultado
Função $f$ plot( f , ( x, a, b ) ) plot( x^2, ( x, -1, 1) )
Curva Paramétrica

parametric_plot( [ x( t ) , y( t ) ], ( t, a, b ) )

var( 't' )
parametric_plot( [ t^2, t^3 ], ( t, -1 , 1 ) )

Curva Implicita C implicit_plot( C, (x, a, b), (y, c, d ) ) var( 'y' )
implicit_plot( x^3+y^3 == 3*x*y, ( x, -3, 2 ), ( y, -3, 2 ) )
Curva em coord. Polares polar_plot( r(theta), ( theta, a, b ) ) var( 'theta' )
polar_plot( theta/2*pi, ( theta, 0, 2*pi ) )
 

 

Gráficos 3D Sintaxe Sage Exemplo  Resultado
Quádricas plot3d( f, ( x, a, b ) , ( y, c, d ) ) var('y')
plot3d( x^2 - y^2, (x, -1, 1 ),  ( y,  -1, 1 ) )
Funções  plot3d( f, ( x, a, b ) , ( y, c, d ) ) var('y')
plot3d( e^(x/5)*sin(y), ( x,- 5, 5 ), ( y, -5 ,5 ) )
Superfícies Paramétricas parametric_plot3d( [ x( u, v ), y( u, v ) , z( u, v ) ], ( u, a, b ), ( v, c , d ) ) var('u,v')
( [ u, u , u^2 + v^2 ] , ( u, -1, 1 ), ( v, -1, 1 ) )
Curvas Parametrizadas parametric_plot( [ x( t ) , y( t ) , z( t ) ], ( t, a, b ) ) var( 't' )
parametric_plot3d( [ cos( t ), sin( t ), t ] ,( t , 0, 2*pi ) )
Superfícies definida por Equação implicit_plot3d( f, ( x, a, b ) , ( y, c, d ) ) x, y, z = var('x, y, z')
implicit_plot3d( x^2 + y^2 + z^2 - 4, ( x, - 2,  2), ( y, - 2, 2 ), ( z,- 2, 2 ) )

 

Autor: Leon Denis da Silva

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Referência: Documentação Sage

Integral

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado
$ \displaystyle\int f(x)\rm{d}x$ integral( f, x )  integral( x^3, x ) x^4/4
$\displaystyle\int_{a}^{b}\,f(x)\rm{d}x$ integral( f , x , a, b ) integral( sqrt(x) , x,  0 , 4 ) 16/3
$\displaystyle \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\,f(x,y)\rm{d}x\rm{d}y$

var( 'y' )

integral( integral( f, (x, a, b ) ), ( y, c, d) )

var( 'y' )

integral( integral( cos(y) , (x, -1, 5 ) ), ( y, pi/6, pi/2) )

3
$\displaystyle \int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\,f(x,y)\rm{d}x\rm{d}y$ integral(integral( f, ( x, a, b) ),(y, g1, g2) ) integral( integral( x - y, (y, 2*x, 2) ), (x, 0, 1) ) -1
Autor: Leon Denis da Silva

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Limites

  Operação Matemática   Sintaxe Sage   Exemplo   Resultado
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)$   limit(f , x = a )   limit( x^2+ 2*x, x = 1)   3
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$   limit( f , x=a, dir =' - ' )   limit( abs(x)/x, x = 0 , dir=' - ' )   -1
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)$   limit( f , x=a, dir = ' + ' )   limit( abs(x)/x , x = 0, dir = ' + ' )   1
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$   limit( f , x=+oo )   limit( 1/x , x = +oo)   0
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$   limit( f , x = -oo )   limit( e^x , x = -oo)   0
Autor: Leon Denis da Silva

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Matrizes

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado
$A= \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ matrix( [ [ a, b ], [ c, d] ] )

A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )

show( A )

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

A + B

A + B

A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )

B=matrix( [ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ] )

show(A + B)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right)$
$\kappa \rm{A}$ kA A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )
show(-2*A)
$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} -2 & -4 \\ -2 & 0 \end{array}\right)$
 
$\rm{C}^T$

transpose( C ) 

ou

C.transpose( )

C=matrix( [ [1,2,1],  [1,0,1] ] )

show( transpose( C ) )

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$
$\det( \rm{A} )$

det ( A )

ou

A.det( )

A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )

 det( A )

-2
$\rm{A}^{-1}$

A^( -1 )

ou

A.inverse()

A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )

show( A^(-1) )

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)$
$\rm{tr}( \rm{A} )$ A.trace()

A=matrix( [ [ 1, 2 ], [ 1,0 ] ] )

A.trace()

1
Autor: Ricardo Nunes Machado Junior

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Operações

Operador Função Sage Exemplo Resultado
= Atribuição x=1 ; x 1
+ Adição 2+7 9
- Substração 14.5-0.5 14
* Mutiplicação 3*9+1 28
** ou ^ Potenciação 2**5 + 2^2 36
/ Divisão 225/3 75
// Quaciente Inteiro 10//3 3
% Módulo 11%2 1
> Comparação( maior que ) 2>1 True
< Comparação( menor que ) 4 < pi False
>= Comparação( maior ou igual ) 2 + 3 >=  5 True
<= Comparação( menor ou igual ) 11 <= 2*5 False
!= ou <> Comparação( diferente ) 21 != 3*7 False
Autor: Leon Denis da Silva

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Referência: Documentação Sage

Vetores

Operação Matemática Sintaxe Sage Exemplo Resultado
$\overrightarrow{v} =(a, b , c)$ v = vector( [ a, b, c ] )

v = vector( [1 , -1, 1 ] ) ; v

( 1, -1, 1 )
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} $ u + v v = vector( [ 1, -1, 1 ] )
u=vector( [ 1, 1, 0 ] )
u + v
( 2, 0 , 1)
$k\overrightarrow{v}$ k*v v = vector( [ 1, -1, 1 ] )
2*v
( 2, -1 , 2 )
$\langle \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \rangle$ u.dot_product( v ) v = vector( [ 1, -1, 1 ] )
u=vector( [ 1, 1, 0 ] )
u.dot_product( v )
0
$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$ ( u ).cross_product( v ) v = vector( [ 1, -1, 1 ] )
u=vector( [ 1, 1, 0 ] )
( u ).cross_product( v )
( 1, -1 , 2 )
$\Vert\overrightarrow{v}\Vert$ norm(v) v = vector( [ 1, -1, 1 ] )
norm( v )
sqrt(3)
Autor: Ricardo Nunes Machado Junior

Mais sobre o tópico: quickref-linalg.pdf

Referência: Documentação Sage

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